makalah macam distribusi

STATISTIKA

“MACAM MACAM DISTRIBUSI”

DISUSUN

O

L

E

H

Julenta Martiani Tarigan

Pasurina  Manurung

Semester III c

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

UNIVERSITAS LANCANG KUNING

Tahun Ajaran 2012/2013

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Disadari atau tidak,statistika telah banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Pemerintah menggunakan statistika dalam nenilai hasil pembangunan di masa lalu dan juga untuk membuat rencana di masa akan datang. Pemimpin mengambil manfaat dari kegunaan statistika untuk melakukan tindakan-tindakan yang perlu  dalam menjalankan tugasnya.

      Salah satu pembahasan yang ada dalam statistika yaitu distribusi data . sama halnya dengan statistika, distribusi data juga sangan berguna bagi kehidupan kita. Semua jurusan mempelajari mata kuliah ini. Distribusi ini merupakan pengumpulan data atau keterangan ,pengolahan dan penarikan kesimpulan. Hal ini harus dilakukan dengan baik,cermat,teliti,hati-hati,mengikuti cara dan teori-teori yang benar dan dapat dipertanggung jawabkan.

1.2.Rumusan Masalah

a.Apa Pengertian Distribusi normal,t(student),F,dan chi-kuadrat.

b.Bagaimana Penerapan Distribusi  normal,t(student),F,dan chi-kuadrat.

1.3. Tujuan

a. Agar mengetahui apa pengertian Distribusi normal,t(student),F,dan chi-kuadrat.

b.Agar mengetahui bagaimana Penerapan Distribusi normal,t(student),F,dan chi-kuadrat.

                        

BAB II

ISI

DISTRIBUSI NORMAL

Dikenalnya distribusi normal diawali oleh kemajuan yang pesat dalam pengukuran pada abad ke 19. Pada waktu itu,  para ahli matematika dihadapkan pada suatu tantangan mengenai fenomena variabilitas pengamat atau interna yang artinya bila seorang mengadakan pengukuran berulang-ulang maka hasilnya akan berbeda-beda.Yang menjadi pertanyaan adalah nilai manakah yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka kemudian berdasarkan kesepakatan maka nilai rata-rata dianggap paling tepat dan semua penyimpangan dari rata-rata dianggap suatu kesalahan atau error.Abraham de Moivre adalah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss.Gauss mengamati hasil dari percobaan yang dlakukan berulang-ulang, dan dia menemukan hasil yang paling sering adalah nilai rata-rata. Penyimpangan  baik ke kanan atau ke kiri yang jauh dari rata-rata, terjadinya semakin sedikit. Sehingga bila disusun maka akan terbentuk distribusi yang simetris.

Distribusi Normal adalah model distribusi kontinyu yang paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ).

Fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal diberikan dalam rumus berikut:

Dimana μ adalah rata-rata, σ adalah standar deviasi dan π = 3,14159…

 Contoh grafik fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal digambarkan dalam Gambar 1.

Gambar 1. Grafik fungsi probabilitas distribusi normal

Grafik fungsi distribusi normal tersebut di atas membentang dari minus tak hingga hingga tak hingga. Hanya saja, semakin jauh dengan rata-rata (M₁), nilai probabilitas akan semakin mendekati nol.

Contoh soal  1:

Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

a. < 200 mg %

b. > 250 mg %

Jawab :

Ilustrasi dari soal tersebut di atas ditunjukkan dalam Gambar berikut :

Untuk menghitung nilai probabiltas dari pertanyaan di atas, kita gunakan rumus fungsi probabilitas distribusi normal. Karena nilai probabilitas yang dibutuhkan adalah pada rentang nilai x tertentu, maka kita harus menggunakan integral untuk menghitungnya.

a. P (<200 mg) =

b.  P (> 250 mg) =

Untuk mengatasi permasalahan di atas, terdapat cara lain untuk menghitung nilai peluang distribusi normal. Untuk menentukan nilai peluang pada soal di atas, kita pelajari dulu cara menghitung nilai Z dan membaca tabel luas kurva normal. Nilai Z didapat dengan rumus berikut:

Sedangkan tabel luas kurva normal adalah tabel yang memuat luas kurva normal dari titik minus tak hingga sampai titik x. Tabel luas kurva normal ini sangat bermanfaat untuk menghitung soal-soal seperti contoh soal 1b. Hanya saja, tabel kurva normal ini disusun berdasarkan nilai Z. Sehingga kita harus menghitung nilai Z terlebih dahulu. Ilustrasi dari fungsi tabel kurva normal ditunjukkan dalam Gambar 2.

Tabel luas kurva normal untuk distribusi normal ditunjukkan dalam Tabel 1a dan 1b.

Tabel 1a. Nilai luas kurva normal untuk nilai Z < 0 (negatif)

Tabel 1b. Nilai luas kurva normal untuk nilai Z > 0 (positif)

Penyelesaian contoh soal 1 dengan menggunakan tabel kurva normal.

Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

a. > 250 mg %

b. < 200 mg %

Jawab :

μ  = 215

σ = 45

Untuk memudahkan pengerjaan, kita kerjaan contoh soal 1.b terlebih dahulu.

b.         P(x < 200)

Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = -0,67, luasnya adalah 0.2514. Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 200 mg % adalah 0.2514.

a.         P(x > 250)

Untuk menghitung soal 1a, kita cari dulu peluang menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg atau P (x <250 )

Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = 0.78, luasnya adalah 0.7794. Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg % , P (x < 250) adalah 0.7794. Peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula lebih dari 250 mg % , atau P (x > 250) dapat dilakukan dengan cara berikut :

P ( x > 250)     = 1 - P ( x < 250 )

                        = 1 - 0.7794

                        = 0.2206

DISTRIBUSI T ( STUDENT )

Untuk sampel nukuran n  3, taksiran  dapat diperoleh dengan menghitung nilai S². Bila n  30, maka S² memberikan taksiran  yang baik dan tidak berubah dan distribusi statistik  masih secara hampiran, berdistribusi sama dengan peubah normal baku z.

Bila ukuran sampel  ( n < 30 ), nilai S² berubah cukup besar  dari sampel ke sampel dan distribusi peubah acak   tidak lagi distribusi normal baku.

Dalam hal ini didapatkan distribusi statistik yang disebut T

Distribusi sampel  T di dapat  dari anggapan bahwa sampel acak berasal dari populasi normal.

Dengan ,

Berdistribusi normal baku,dan

Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v. Bila z dan v bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

Diberikan oleh,

 

Ini di kenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.

Distribusi Z dan T berbeda karena variansi T bergantung pada ukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran sampel  kedua distribusi menjadi sama. Pada gambar dibawah diperlihatkan hubungan antara distribusi normal baku () dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2 dan 5.

Karena distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka ;

 yaitu, nilai t yang luas sebelah kanannya , atau luas sebelah kirinya , sama dengan minus nilai t yang luas bagian kanannya .

Panjang selang nilai t yang dapat diterima tergantung pada bagaimana pentingnya . Bila  ingin ditaksir dengan ketelitian yang tinggi, sebaiknya digunakan selang yang lebih pendek seperti  sampai .

Contoh soal:

Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata – rata selama 500 jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila  nilai t yang dihitung terletak antara  dan  maka pengusahan pabrik tadi akan mempertahankan kenyakinannya. Kesimpulan apa yang seharusnya dia ambil dari sampel dengan rataan = 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam? Anggap bahwa distribusi waktu menyala, secara hampiran, noramal.

Jawab :

Dari tabel 5 diperoleh  = 1,711 untuk derajat kebebasan 24. Jadi pengusaha tadi akan puas dengan keyakinananya bila sampel 25 bola lampu memberikan nilai t antara -1,711 dan 1,711. Bila memang  = 500, maka

Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t, dengan derajat kebebasan v = 24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara hampiran adalah 0,02. Bila , nilai t yang di hitung dari sampel akan lebih wajar. Jadi pengusaha tali kemungkinan besar akan menyimpilkan bahwa produksinya lebih nbaik daripada yang diduganya semula.

DISTRIBUSI  F

Statistik F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-kuadrat yang bebas, masing – masing dibagi dengan derajat kebebasannya.

Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing – masing berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Maka distribusi peubah acak :

Diberikan oleh

	= 0                                 ,           0 < f < ∞ , untuk f lainnya

 

ini dikenal dengan nama distribusi F dengan derajat kebebasan  dan

Kurva distribusi F tidak hanya tergantung pada kedua parameter   dan   tapi juga pada urutan keduanya ditulis.begitu kedua bilangan itu ditentukan maka kurvanya menjadi tertentu. Dibawah ini adalah kurva khas distribusi F

 

Di bawah ini gambar kurva nilai tabel distribusi F

	Gambar 2

 

Lambang   nilai  f  tertentu peubah acak F sehingga disebelah kanannya terdapat luas sebesar . Ini digambarkan dengan daerah  yang dihitami pada gambar 2. Pada tabel  memberikan nilai  hanya untuk  dan  untuk berbagai pasangan derajat kebebasan  dan  Jadi, nilai f untuk derajat kebebasan 6 dan 10 , sehingga luas daerah sebelah kanannya 0,05 adalah .

Tulislah  untuk  dengan derajat kebebasan  dan , maka

 

Bila  dan  variansi sampel acak ukuran  dan  yang diambil dari dua populasi normal, masing-masing dengan variansi  dan , maka

 

Berdistribusi F dengan derajat kebebasan  dan

   Contoh :

Tentukan nilai dari F 0,05 (12,20)

Penyelesaian  :

Diketahui :

 p = 0,05

 ,

Ditanya : F = . . . . ?

Jawab :

F 0,05 (12,20) = 2,28

P = 1 – 0,05 = 0,95

F 0,95 (20,12) =

Jadi nilai F 0,05 (12,20) adalah 0,04

CHI-KUADRAT (χ ² )

Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktualdenganfrekuensi harapan/ekspektas.

frekuensi observasi   →nilainya didapat dari hasil percobaan (o)

frekuensi harapan     →nilainya dapat dihitung secara teoritis (e)

Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilaiχ²selalu positif.

Distribusi khi-kuadrat (bahasi inggris: Chi-square distribution) atau distribusi χ² dengan k derajat bebas  adalah distribusi jumlah kuadrat k peubah acak normal baku yang saling bebas. Distribusi ini seringkali digunakan dalam statistika inferensial, seperti dalam uji hipotesis, atau dalam penyusunan selang kepercayaan.Apabila dibandingkan dengan distribusi chi-kuadrat nonsentral, distribusi ini dapat juga disebut distribusi khi-kuadrat sentral.

Salah satu penggunaan distribusi ini adalah uji chi-kuadrat untuk kebersesuaian (goodness of fit) suatu distribusi pengamatan dengan distribusi teoretis, kriteria klasifikasi analisis data yang saling bebas, serta pendugaan selang kepercayaan untuk simpangan baku populasi berdistribusi normal dari simpangan baku sampel. Sejumlah pengujian statistika juga menggunakan distribusi ini, seperti Uji Friedman.

Distribusi khi-kuadrat merupakan kasus khusus distribusi Gamma.

Chi-square dihitung dengan mencari perbedaan antara masing-masing frekuensi pengamatan dan teoritis untuk setiap hasil yang mungkin, mengkuadratkan mereka, membagi masing-masing dengan frekuensi teoritis, dan mengambil jumlah hasil. Jumlah derajat kebebasan  adalah sama dengan jumlah hasil yang mungkin, minus 1:

             

Dimana

 = Frekuensi yang diamati;

 = Yang diharapkan (teoritis) frekuensi, ditegaskan oleh hipotesis null;

 = Jumlah hasil yang mungkin dari setiap peristiwa.